Materialien zur Stochastik

Kapitel 1: Zielsetzung
oma.ggb (1.1) online
Das schönste Experiment zum Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechung.
Eine Socke mit drei Buchstaben A, M, O kreist in der Klasse.
Jeder darf drei Buchstaben ziehen. Wer dabei die Reihenfolge O-M-A erwischt, gewinnt.
Das Spiel ist zu Ende... und das nächste beginnt.
Die Verteilung der Spieldauer wird mit Boxplots und Säulendiagrammen visualisiert, macht die Unterschiede
zwischen Median und Mittelwert deutlich und verknüpft statistische Kenngrößen mit persönlichem Erleben von Zufallsschwankungen.

Kapitel 2: Wahrscheinlichkeit entsteht, wenn aus Erfahrung Erwartung wird
quader.xlsx und quader.ggb (2.2, 2.4.1) online
- sammelt und kumuliert „gewürfelte“ Häufigkeitsverteilungen gruppenweise
- hilft beim Aufstellen brauchbarer Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- berechnet damit Wahrscheinlichkeitsverteilungen zum Durchmarschexperiment
- hilft, beim Durchmarschexperiment, Prognose und Realität zu vergleichen.
- eignet sich auch für die Auswertung von Experimenten mit dem schiefen Glücksrad.
quader-doppelwurf.ggb (2.4.2)
Berechnet die Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 2, 3, …, 12 beim Wurf zweier Quader in Abhängigkeit
von den angesetzten (hypothetischen) Quaderwahrscheinlichkeiten und kombiniert die Summenregel („systematisches Abzählen“) mit der Pfadregel.
quader-gibbs.ggb (2.5) online
Die Gibbs Verteilung p(i)~e^(-k·h(i)) mit dem Parameter k beschreibt das Verhalten des Quaders perfekt. Dabei ist h(i) die jeweilige Höhe des Schwerpunktes in der Lage i. Der Wert des Parameters k hängt von der Wurftechnik ab. Man richtet ihn (durch einen Schieberegler) so ein, dass der Unterschiede zwischen Modell und Realität minimal werden.

Kapitel 3: beurteilende Statistik im Federmäppchen
zweifel-sortieren.ggb online (3.2)
- Bleistifte werden 120-mal in beide Richtungen gerollt
- die Brauchbarkeit des Laplace-Modells wird nach Bauchgefühl bewertet
- Zweifel am Laplace-Modell wird über selbst erfundene Sortiergrößen verglichen und sortiert.
bleistift-simulation.ggb online bleistift-simulation.xlsm (3.4)
Laplace-Bleistifte werden simuliert, durch die ausgedachten Sortiergrößen bewertet,
kritische Grenzen werden ausgehandelt und abgesteckt.
Die sequentiell (verlangsamend) arbeitende GeoGebra-Datei ist dank der eingesetzten „WindowShuttleTechnik“ lernpsychologisch „genial“.

Kapitel 4: Prognoseintervalle
kopfmuenzeln-mit-simulation.ggb (4.2)
(nach Bauchgefühl) ausgedachte Häufigkeiten zum Werfen von 25, 100 und 400 Münzen werden visualisiert und mit simulierten Daten verglichen.
Es zeigt sich, wie sehr die Intuition vieler Menschen trügt.
gesetz-der-grossen-zahlen.ggb (4.2) online
demonstriert, wie die Zufallsschwankungen der relativen Häufigkeiten um eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit mit wachsender Versuchszahl abnehmen.
nougat-10g.ggb, nougat-10g-5-sorten.ggb baeren-10g.ggb (4.4.1 – 8.4.1)
Gewichtsangaben auf Verpackungen (10 g mit Eichzeichen) sind normative Modelle, die sich mit beschreibender und beurteilender Statistik prüfen lassen.
elle-fuss.ggb (4.4.2)
Ellen und Füße sollen gleich lang sein. Ob bzw. wie genau das stimmt – und ob es Unterschiede zwischen rechts und links gibt, lässt sich mit dieser Datei erforschen.
minuteschaetzen.ggb (4.4.3 – 4.5)
geprüft wird, wie gut wir die Dauer einer Minute schätzen können und wie sehr sich die Schätzgenauigkeit durch Übung verbessern lässt.
Das Händefalten funktioniert in großen Gruppen sehr zeitökonomisch.
signifikanztest-tool.ggb online (4.4.4 – 8.4.1)
Universalwerkzeug zur Bestimmung kritischer Bereiche bei ein- und zweiseitigen Binomial¬tests, auch zur Prüfung der Sigmaregeln und des Grenzwertsatzes von de Moivre-Laplace.
treppensteigen.xlsx, haendefalten.xlsx (4.4.5 - 4.5)
Man beobachtet, welcher Fuß beim Treppensteigen zuerst aufgesetzt wird bzw. welcher Daumen beim Händefalten oben liegt und überprüft mit Vierfeldertafeln bzw. dem Vorzeichentest,
wie stark der Zusammenhang mit der Händigkeit beim Schreiben ist.
Das Händefalten funktioniert auch in großen Gruppen sehr zeitökonomisch.
daumenpeilen.xlsx, strahlensatz.ggb online peilwinkel.ggb (4.4.6 – 4.5 – 10.1.3)
Die Abmessungen von Objekten lassen sich aus der Ferne durch Anpeilen aus der Armlänge, und der Daumenbreite bestimmen.
Mit beschreibender Statistik wird die Genauigkeit der Methode abgeschätzt.
Naheliegende Hypothesen, werden mit dem Vorzeichentest geprüft.
Peilquotienten und Peilwinkel lassen sich durch Normalverteilungen beschrieben.
Wenn man „nebenbei“ festhält, mit welchem Auge über welchen Daumen, ein Rechts- bzw. Linkshänder peilt, werden zeitökonomisch Brücken zu Vierfeldertafeln geschlagen.

Kapitel 5: Konfidenzintervalle
prognose-konfidenzintervall-tool.ggb (5.3) online
Dieses "Ellipsenwerkzeug" berechnet zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit auf der Rechtsachse das (vertikale) Prognoseintervall (in dem relative Häufigkeiten liegen)
und zu einer relativen Häufigkeit auf der Hochachse das (horizontale) Konfidenzintervall (in dem Wahrscheinlichkeiten liegen).
Über den Rechenwerkzeugcharakter hinaus gestattet die Datei durch Verschieben der Wahrscheinlichkeiten das problemorientierte Entdecken der Dualität zwischen Prognose- und Konfidenzintervallen.
wurzeltrichter-ellipse.ggb online (5.4)
Die von 1/vn – Gesetz geläufigen Wurzeltrichterdiagramme visualisieren Prognoseintervalle in Abhängigkeit vom Versuchsumfang n.
Ellipsendiagramme zeigen deren Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit p. Die Datei verknüpft beide Sichtweisen
und erlaubt durch dynamisches Variieren der Wahrscheinlichkeit p die Konstruktion des Begriffs „Konfidenzintervall“.
Das didaktische Potenzial dieser Datei ist enorm!
konfidenzintervall-freirubbeln.ggb (5.4) online
Die relative Trefferhäufigkeit h ist gegeben. Eine angenommene Trefferwahrscheinlichkeit p pendelt - umgeben vom zugehörigen Prognoseintervall zwischen 0 und 1.
Immer dann, wenn das Prognoseintervall die relative Trefferhäufigkeit h überdeckt, wird die Wahrscheinlichkeit p markiert.
Die Markierungen lassen vor den Augen des Betrachters das Konfidenzintervall entstehen.
Die Datei bietet ausgezeichnete Gesprächsanlässe und unterstützt dadurch die Begriffsbildung „Konfidenzintervall“ nachdrücklich.
*Zeitungsartikel zum Schummeln durch "Verschweigen des Stichprobenumfangs"
legomuenze-dualitaet.ggb (5.5) online
enthält relative Häufigkeiten zu 23 x 100 Würfen einer Lego - 4er Münze und die zugehörigen 23 Konfidenzintervalle für die Wahrscheinlichkeit der Fußlage.
Man bildet daraus 5 400er und eine 300er Gruppe, erhält 6 kleinere Konfidenzintervalle. Ein noch kleineres entsteht durch Zusammenlegen aller Daten.
Die Zufälligkeit der Konfidenzintervallen ihre Abhängigkeit von der Stichprobengröße wird erlebbar.
Das Variieren einer hypothetischen Trefferwahrscheinlichkeit beleuchtet wiederum die Dualität zwischen Prognose- und Konfidenzintervallen
in einem authentischen Kontext, in dem sich jeder Lernende und jede Kleingruppe namentlich wiederfindet.
Zum Vergleich: In 1793 von 4097 Versuchen (e 43,8%) landete die Lego 4er Münze in Fußlage.
*us-penny-konfidenzintervalle-freirubbeln.ggb online (nicht im Buch aufgeführt) Tom Scott's Video Schülerexperiment
Viele US-Cent-Münzen landen mit hoher Wahrscheinlichkeit auf der Seite Denkmal, wenn man sie aufrecht stehend rotieren lässt.
loeffelstichprobe-dualitaet.ggb online (5.5)
statt Münzen zu "würfeln" werden mit einem Löffel Perlen aus einem Pott mit gestochen.
Durch die individuellen Löffel-Stichprobengrößen variieren die Längen der „persönlichen“ Konfidenzintervalle.
Im Gegensatz zum Legostein/US-Penny gibt es hier ein (nachträglich zur Kontrolle mitgeteiltes) Laplace-Modell p(rot)=1/4.
Aber Vorsicht: ein kleiner Teil der Laplace-Wahrscheinlichkeit landet beim Nachzählen i. d. R. auf dem Fußboden.
*Konfidenzintervalle aus Bayesscher Sicht online
Man wichtet Wahrscheinlichkeiten p = 0.01 ... 0.99 durch eine priori Gleichferteilung,
der eine verschiebbare Asymetrie der Form (x-a)^n beigemischt werden kann. Visualisiert wird die posteriori-Wahrscheinlichkeit
mit der p dann im Konfidenzintervall einer beobachteten relativen Häufigkeit h (veränderbar) liegt.

Kapitel 6: Standardabweichung – Rekursion – Summenverteilungen
faltung-rekursiv.ggb online, faltung-rekursiv.xlsx, faltung-mit-erzeugender-funktion.ggb online
berechnet zur Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (Legomünze, Quader, Schraubenmutterwürfel…)
die Wahrscheinlichkeit der n-fachen Summe X+…+ X, also die n-fache Faltung der Ausgangsverteilung
rekursiv mit Pfad- und Summenregel oder durch Potenzieren von Polynomen (mit der erzeugenden Funktion).
zucker-loeffel.ggb
enthält die Gewichte von gestrichenen und gehäuften Löffeln Zucker. Die Verteilungen sind glockenförmig und dukumentieren die Nützlichkeit der Sigmaregeln.
stoppuhr-wartezeiten.ggb online
Bei Rednern/Vortragenden lassen sich die Wartezeiten auf das nächste Füllsel „Äh" gut durch Exponentialverteilungen beschreiben.
Median und Mittelwert unterscheiden sich deutlich voneinander und die Sigmaregeln liefern keine guten Ergebnisse mehr.
Das Programm misst die Wartezeiten und visualisiert deren Verteilungen.
Stoppuhr-normalverteilung online
Wenn man (wie eine tickende Uhr) verscht, so gleichmäßig wie möglich zu klicken, dann sind die (zeitlichen) Klickabstände normalverteilt.
probieren Sie das aus!

*soundcheck.zip
Ein Hörtest. Begleitmaterialien mit Audiodateien aus Riemer, W.: Soundcheck. CD contra MP3. mathematiklehren 153/2009.
hoertest-testbogen.xlsx

Kapitel 7: "maschinelles" Lernen aus Erfahrung: Abwägen zwischen Hypothesen nach Bayes
wuerfel-quader-lego.ggb online und wuerfel-quader-lego-tabelle.ggb online (7.1)
Jemand würfelt mit einem der drei genannten Objekte und nennt nach jedem Wurf die Augenzahl.
Die Programme "lernen", mit welchem Objekt gewürfelt wird.
Man kann den Lernprozess simulieren oder händische Experimente begleiten.
drei-beutel.ggb online, drei-beutel-tabelle.ggb online und drei-beutel.xlsx (7.2)
Wie oben mit drei unterschiedlich gefüllten Beuteln.
Ideales Einstiegsexperiment, um nach dem Blackbox-Whitebox-Prinzip selbstständig und handlungsorientiert
zu entdecken und zu begründen, wie die Bayessche Regel das Lernen aus Erfahrung modelliert.
min-rot-max.ggb online, min-rot-max-tabelle.ggb online, min-rot-max.xlsx = Tabelle ohne Makros, min-rot-max.xlsm = mit Makros (7.5.1)
hypergeo.ggb online, hypergeo-tabelle.ggb online
weitere spielerische Kontexte, in denen man erleben und begründen kann, wie die Bayessche Regel das Lernen aus Erfahrung modelliert.
infografik-antigentest.pdf
eine mit Zahlenbeispielen unterlegte Datei des Robert-Koch-Instituts, die erläutert, wie man „Bayessches Denken“ über natürliche Häufigkeiten fördern kann.

Kapitel 8: Signifikanztests
goldbaeren-gewichte-10g.ggb (8.4)
enthält die Netto-Gewichte von je 100 Tütchen, die aus vier unterschiedlichen Produktionsmargen stammen.
eichgesetz.pdf (8.4.1)
Auszug aus der Fertigverpackungsrichtlinie, der man die Bedeutung des Eichzeichens e entnimmt.
chance-risiko-sequentiell.ggb (8.5.3) online
Bayessche Sicht auf einseitige Signifikanztests:
Zwei mit Kugeln gefüllte Beutel gehören zu unterschiedlichen Trefferwahrscheinlichkeiten. Man zieht mit Zurücklegen
und muss nach einer vorgegebenen Schrittzahl auf einen der Beutel tippen. Fehltipps werden unterschiedlich bestraft.
Die Simulation hilft bei der Suche nach der gewinnträchtigsten Entscheidungsstrategie, die aber nicht notwendig die meisten richtigen Tipps liefert.
Die spielerische Lernumgebung führt zur Entdeckung der Rolle, die die Nullhypothese bei einseitigen Signifikanztests spielt.
chance-und-risiko.xlsx (8.5.3)
eine elementare Variante mit händischer und Excel-simulation (Schulbuchauszug, Klasse 9).
chance-risiko-funktional.ggb (8.5.3) online
wie oben, aber alle Entscheidungsstrategien werden (in Form eines Funktionsgraphen) gleichzeitig
a) auf die Wahrscheinlichkeit untersucht, mit der sie richtige Tipps liefern
b) welcher Gewinn jeweils zu erwarten ist und
c) mit welcher a-posteriori-Wahrscheinlichkeit, die Alternative gilt, nachdem man sich für eine Wahrscheinlichkeit entschieden hat.
energydrinks.zip
Material für ein Unterrichtsprojekt zur Erforschung der Frage: „Lässt sich die Reaktiosschnelligkeit durch den Konsum von Energiebrausen verbessern?“

Kapitel 9: Das Glücksrad auf der schiefen Ebene
schnippen.ggb (9.3) online
*schnippen-mit-konfidenz online
Vorlage zur Versuchsauswertung. Arbeitet auf der Realitätsebene.
sinusdichte.ggb (9.5.1) online
berechnet Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit vom Parameter k = tan(alpha)/rho. Arbeitet auf der Modellebene.
sinusdichte-modellanpassung.ggb 9.5.1 online
(vereint schnipsen.ggb und sinusdichte.ggb): Hilft bei der Suche nach optimalen Parametern k.
schiefes-laplacesches-gluecksrad.ggb (9.5.1) online
berechnet die Felder des schiefen Glücksrades so, dass jedes die Wahrscheinlichkeit 1/6 besitzt.
gluecksrad-rutschend.ggb (9.6) online
zeigt, wie sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert, wenn man das Glücksrad so stark neigt, dass der Zeiger nicht mehr überall hält.
Zusätzlich wird die Endposition in Abhängigkeit von der Startenergie dargestellt.
*gluecksrad-klebeetiketten

Kapitel 10: Normalverteilung
10-DM.ggb (10.1.2) online
Der 10 DM Schein mit der Gaußschen Glocke als Hintergrundbild.
zuckerwuerfel.ggb (10.1.2) online
enthält die Gewichte von 528 Zuckerwürfeln mit Aufdruck 2.5 Gramm mit Gauß-Glocke und NQ-Plot.
darts.ggb (10.2) online
enthält die x- und y- Koordinaten und Zielabstände d von Darteinstichen beim Zielen auf den Mittelpunkt einer Zielscheibe mit den zugehörigen Histogrammen.
darts-rotation.ggb (10.8) online
enthält die Daten aus darts.ggb. Zusätzlich lässt sich das Koordinatensystem zwecks Überprüfung der Rotationssymmetrie drehen.
Die (bedingten) Verteilungen der x-Koordinaten für große und kleine y-Werte werden (zur Prüfung der Unabhängigkeit) miteinander verglichen.
gauss-begruenden.pdf (10.8)
Die Begründung des Terms der Normalverteilung ist anspruchsvoll.
Falls sie in Form eines geführten Beweises kooperativ in Gruppenarbeit oder als Referat geplant ist, hilft die in dem Dokument enthaltene Beweisvorlage,
evtl. ergänzt durch ein Erklärvideo: gauss-begründen.mp4 oder hier

Kapitel 11: Lineare Modelle, Regression, Korrelation, Kausalität
loeffel-stichproben.xlsx (11.1)
Ausgezählte und ausgewogenen Löffel-Stichproben aus einem Perlentopf
mit 2000 roten, 1000 gelben und 1000 grünen Perlen.
schuh-groessen-innenlaengen.xlsx (11.1.2)
Schuhe bekannter EU-Schuhgroße wurden mit Bandmaß vermessen.
bleistiftrollen-bauchgefuehl-testgroessen.xlsx (11.1.3)
Regression zwischen verschiedenen Sortiergrößen beim Bleistiftrollen.
koerpergroesse-schuhgroesse.xlsx (11.1.4)
Auswertungsvorlage zur Datenerhebung in Kleingruppen.
trendgeraden-schaetzen.ggb (11.3) online
Zu einer Punktwolke lassen sich Trendgeraden händisch so einpassen, dass entweder die Vertikal- oder die Horizontalabweichungen
minimal werden (Regression y gegen x oder x gegen y).
lineares-modell-schrittweise-rekonstruieren.ggb (11.4) online
Zu einem (optional versteckt) vorgegebenen linearen Modell werden schrittweise Punktwolken erzeugt und die zugehörigen Trendgeraden werden berechnet … und pendeln um das versteckte Modell, das dann – im Unterricht ist das ein äußerst spanender Moment – durch Anklicken aus dem Versteck hervorgeholt werden kann.
regression-simulation-linear.ggb (11.4) online
Die Datenwolke wird nicht mehr sequentiell, sondern „auf einen Schlag“ erzeugt.
Man erkennt: Korrelation und Regression schätzen (schwanken um) die entsprechenden Parameter des vorgegebenen linearen Modells.
regression-simulation-exponntiell.ggb (11.4) online
klärt, was passiert, wenn man versucht, exponentielle Realitäten durch lineare Modelle zu beschreiben. Die Rolle der Residuen tritt bei der Modellbewertung ins Zentrum.
normalverteilung-2D.ggb (11.5) online
zweidimensionale Normalverteilung mit veränderbaren Parametern.
vorschulkinder.xlsx (11.6)
Daten zu Körpergröße und Alter.
selbstkonzept.docx und selbstkonzept.xlsx (11.9)
modifizierbarer Fragebogen mit authentischen Daten zum schulischen Selbstkonzept.
Anregung für ein fächerübergreifendes Projekt.

Literatur
Schupp