Tipp A richtig

Tipp B falsch

Tipp A falsch

Tipp B richtig

O

A

B

Max

tippt

Hannah

A

hat

B

Bewertung

p_1

p_2

Gewinn

posteriori_1

Wahrheit

1\,\%\text{  } 5\,\%”

Grenzen

1) In Beutel 1 hat der Anteil roter Kuglen den Wert p_1 (Trefferwahrscheinlichkeit), in Beutel 2: p_2. Voreinstellung: p_1=1/3 < p_2=2/3.
Aus einem (per Zufallsgererator) ausgewählten Beutel sollen n Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden. Voreinstellung: n=11.
2) Wahrheitsfunktion (nach Anklicken von Wahrheit): Bei einer Trefferzahl ≤i wird auf auf Beutel 1 getippt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, 
dass der Tipp richtig ist, hängt von i ab. Sie wird als “Wahrheitsfunktion” (rote Punkte) über den Stellen i/n, 0≤i≤n dargestellt.
3) Gewinnfunktion (nach Anklicken von “Gewinn”): Bei jedem richtigen Tipp gewinnt man einen Punkt.
Bei jedem falschen Tipp auf Beutel 2 (fälschliches Verwerfen von Beutel 1) verliert man “strafe_1” Punkte. Voreingestellt ist strafe_1=1.
Bei jedem falschen Tipp auf Beutel 1 (fälschliches Verwerfen von Beutel 2) verliert man “strafe_2” Punkte. Voreingestellt ist strafe_2=20.
Der Gewinn, den man erwarten kann, hängt davon ab, bis zu welcher Trefferzahl i man auf Beutel 1 tippt. Er wird als “Gewinnfunktion” 
(grüne Punkte) über den Stellen i/n, 0≤i≤n dargestellt.
5) Posteriorifunktion (nach Anklicken von “posteriori_1”): Wenn man eine kleine Trefferzahl unter i hat, steigt die (posteriori) 
Wahrscheinlichkeit für Beutel 1. Sie wird in Abhängigkeit von i als Posteriorifunktion (gelb) über den Stellen i/n, 0≤i≤n dargestellt.
6) Optional legt der Schieberegler priori_1 fest, mit welcher Wahrschenlichkeit anfänglich Beutel 1 ausgewählt wird. 
Voreingestellt ist der Wert 0.5,  man erwischt dann jeden der Beutel mit je 50%.
7) Mithilfe des Schiebereglers i lassen sich alle Funktionswerte numerisch ablesen.
8) Grenzen (Hypothesentest): Die vertikalen Strecken markieren die Grenzen, unterhalb derer man die Nullhypothese, dass man aus 
Beutel 2 zieht (H_0: p=p_2) gegen die Alternative H_1: p<p_2 auf dem 5% bzw, 1% Signifikanzniveau linksseitig verwerfen könnte.
Man erkennt: Wenn man H_0 auf dem 1% oder 5% Niveau (linksseitig) gegen H_1 verwerfen kann, liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, 
dass H_1 tatsächlich gilt, deutlich über dem (zuvor eingestellten) priori-Wert. 
Wenn man H_0 verwerfen kann, spricht das meist stark für die Gültigkeit von H_1.

info

p

Gewinn

Beitrag

Gewinnerwartung

A: p=1/3

B: p=2/3

α

P_{|B-verworfen}(A)

Summe

p_2: 2 / 3
p_1: 1 / 3
i = 4 (slider from 0 to n, step 1)
A = (0, 0)
B = (1, 0)
u = Segment(A, B)
P_1: (p_1, 0)
g = Segment(P_1, B)
P_2: (p_2, 0)
h = Segment(P_1, P_2)
n = 11 (slider from 5 to 100, step 1)
Lp_1OK = Sequence(BinomialDist[n, p_1, k, true], k, 0, n)
Lp_2F = Sequence(BinomialDist[n, p_2, k, true], k, 0, n)
Lp_2OK = Sequence(1 - BinomialDist[n, p_2, k, true], k, 0, n)
Lp_1F: 1 - Lp_1OK
strafe_1 = 2 (slider from 0 to 40, step 1)
strafe_2 = 20 (slider from 0 to 500, step 1)
priori_1 = 0.5 (slider from 0 to 1, step 0.05)
gewinn = Sequence((priori_1 * (Element[Lp_1OK, k] - (strafe_1 * Element[Lp_1F, k]))) + ((1 - priori_1) * (Element[Lp_2OK, k] - (strafe_2 * Element[Lp_2F, k]))), k, 1, n + 1)
maxgewinn = Max(gewinn)
maxindex = IndexOf(maxgewinn, gewinn)
gewinngraph = Sequence((k / n, Element[gewinn, k + 1]), k, 0, n)
wahrheit = Sequence((priori_1 * (Element[Lp_1OK, k] - (0 * Element[Lp_1F, k]))) + ((1 - priori_1) * (Element[Lp_2OK, k] - (0 * Element[Lp_2F, k]))), k, 1, n + 1)
wahrheitsgraph = Sequence((k / n, Element[wahrheit, k + 1]), k, 0, n)
Text2: "Falsches Verwerfen von A: p_1=" + (x(P_1)) + " kostet"
Text3: "Falsches Verwerfen von B: p_2= " + (x(P_2)) + " kostet"
F1: i
B5 = Element(Lp_1OK, i + 1)
D5: 1 - B5
D3: priori_1
H3: 1 - D3
J5 = Element(Lp_2OK, i + 1)
H5: 1 - J5
A7: (B5 * D3)
E7: (D3 * D5)
G7: (H5 * H3)
K7: (H3 * J5)
E13: A7
F14: K7
E14: G7
F13: E7
p_i = Element(wahrheitsgraph, i + 1)
E17: 1
F18: 1
G19 = Element(gewinn, i + 1)
F17: (-strafe_1)
E18: (-strafe_2)
g_i = Element(gewinngraph, i + 1)
G15: E13 + F14
p1giltnachtippaufp1: (priori_1 * Lp_1OK / ((priori_1 * Lp_1OK) + ((1 - priori_1) * Lp_2F)))
Eingabefeld1 = Textfield(p_1)
Eingabefeld2 = Textfield(p_2)
a = true
b = true
c = true
grenze5prozent: InverseBinomial[n, p_2, 0.05] - 1
gl1: x = grenze5prozent / n
grenze1prozent: InverseBinomial[n, p_2, 0.01] - 1
gl2: x = grenze1prozent / n
f = PolyLine(gewinngraph)
j = PolyLine(wahrheitsgraph)
Q_1: (grenze1prozent / n, 0)
Q_2: (grenze5prozent / n, 0)
Q_3: (x(Q_2), 1)
Q_4: (x(Q_1), 1)
v1 = Polygon({Q_1, Q_2, Q_3, Q_4})
d = false
pWerte = Sequence(i / n, i, 0, n)
p1giltnachtippaufp1graph: (pWerte, p1giltnachtippaufp1)
W_i = Element(p1giltnachtippaufp1graph, i + 1)
k = PolyLine(p1giltnachtippaufp1graph)
Text1: "optimale Entscheidungsregel:
Tippe p_1, falls X ≤ " + (maxindex - 1) + " bzw. h ≤ " + ((maxindex - 1) / n) + ", sonst  p_2
Gewinnerwartung: " + maxgewinn + ""
einprozentgrenze = Segment(Q_1, Q_4)
fünfprozentgrenze = Segment(Q_2, Q_3)
e = false
E15 = Sum(CellRange(E13,E14,"numeric"))
F15 = Sum(CellRange(F13,F14,"numeric"))
G13 = Sum(CellRange(E13,F13,"numeric"))
G14 = Sum(CellRange(E14,F14,"numeric"))
A8: E17
E8: F17
G8: E18
K8: F18
A9: (A7 * A8)
E9: (E7 * E8)
G9: (G7 * G8)
K9: (K7 * K8)
K10 = Sum(CellRange(A9,K9,"numeric"))
K13: H5
K14: E13 / E15
K15: K13 + K14
Text6: "X≤" + i + ""
A5: Text6
Text7: "X≥" + (i + 1) + ""
E5: Text7
G5: Text6
K5: Text7